Здравствуйте, Николай. В соответствии с Конституцией РФ (ч. 2 ст. 62): наличие у гражданина РФ (каковым Вы являетесь) гражданства иностранного государства не умаляет его прав и свобод и не освобождает от обязанностей, вытекающих их гражданства РФ.
Это значит, что Вы можете и не сниматься с регистрационного учёта в ЛНР, но тогда Вы обязаны:
1) сообщать ежегодно в миграционную полицию о своём втором гражданстве ЛНР,
2) если будете претендовать на социальную или иную помощь как гражданин РФ, постоянно проживающий в РФ, то нужно будет доказывать, что аналогичную социальную помощь Вы не получаете в ЛНР.

Благодарю Вас за консультацию, очень полезный социальный проект.

Ничего не надо Вам делать отдельно.  Например, выписываться. При приёме заявления на постоянную прописку в городе РФ у Вас должны взять еще заявление о выписке Вас с прежнего места жительства.  Но если Вы были в России прописаны.
Люба! Какое гражданство ЛНР? Россия не признала ЛНР и ДНР, а только признает такие паспорта.